This site uses cookies.
Some of these cookies are essential to the operation of the site,
while others help to improve your experience by providing insights into how the site is being used.
For more information, please see the ProZ.com privacy policy.
This person has a SecurePRO™ card. Because this person is not a ProZ.com Plus subscriber, to view his or her SecurePRO™ card you must be a ProZ.com Business member or Plus subscriber.
Affiliations
This person is not affiliated with any business or Blue Board record at ProZ.com.
Services
Translation, Interpreting, Editing/proofreading, Software localization, Training
Expertise
Specializes in:
Computers: Software
Mathematics & Statistics
Petroleum Eng/Sci
Physics
Geology
Chemistry; Chem Sci/Eng
Science (general)
Rates
Portfolio
Sample translations submitted: 1
English to Russian: Principles of the gravitational method General field: Science Detailed field: Physics
Source text - English Development of the theory of the figure of the earth (brief historic review)
2.12.1. I. Newton, 1643–1727
The history of the subject of this chapter starts from the time of Newton. In 1672, the French astronomer J. Richer traveled to South America and performed astronomical measurements near the equator. In particular, it was found that a pendulum watch, calibrated in Paris, lost 2.5min every 24h. It was necessary to decrease the pendulum length by almost 3mm in order to observe the same period as in Paris. Similar behavior was observed by other travelers, but nobody tried to explain this behavior until Newton. In the third book of “Mathematical Principles of Natural Philosophy” he wrote that these experiments indicate that “Earth is slightly higher at an equator”. He also made an attempt to determine theoretically the figure of the earth, considering the force of attraction and centrifugal force. It is clear from symmetry that if rotation is absent there is only the force of interaction between particles and the earth has a spherical shape. However, in the presence of rotation centrifugal force arises, acting perpendicular to the axis of rotation, and this should tend to extend the earth in the direction of the equator, where it has a maximal value. This conclusion was supported by the observation of Jupiter, which clearly shows flattening in the direction of its poles. Correspondingly, the following question arose. What is the shape of a rotating planet, if all its particles attract each other in accordance with Newton’s law? Of course, at that time it was impossible to solve exactly this problem and Newton made several assumptions. For instance, he assumed that for a relatively small angular velocity an exterior surface of a planet has the shape of a spheroid with a very small value of flattening, . Newton found the field of attraction due to masses of a spherical layer as well as an ellipsoid with a very small flattening, and he also suggested an approximate method of evaluation of this parameter for the fluid earth. Let us imagine two slender channels with a fluid: A and B, shown in Fig. 2.1414. They are connected with each other at the center of the earth. At this point the pressure in both channels has to be the same, otherwise the fluid would not be in equilibrium and we would observe a motion of the fluid from one channel to the other. If rotation were absent then the channels would have the same length, but due to the rotation the centrifugal force arises and it decreases the weight of a fluid in the channel A, but in a channel B this effect of rotation is absent. Correspondingly, one can expect that the length of A is greater than that of B. First of all, Newton demonstrated that at points on the equator the ratio of the centrifugal and attraction forces is equal to q=1/288, and this relation remains valid for any point of the channel A inside of the earth, because both forces are directly proportional to the distance from the earth’s center. For the centrifugal force this dependence is correct, while it is true for the attraction force only if the density of the earth is constant. Introduction of parameter q and its evaluation was already an important achievement of Newton. By definition, the earth’s flattening is equal to
where a and b are the length of the channels. In order to determine these lengths it is necessary to know the difference of the gravitational fields at the poles and the equator,
but at the time of Newton, mathematics did not allow one to solve this problem. As was pointed out, Newton solved this problem approximately assuming that the parameter is very small. He numerically found three relationships, namely,
1.For a spheroid with semi-axes a and b
(2.349)349
Here gap is the force of attraction of a spheroid at a pole, but ga(b) is the attraction field of the enclosed sphere with radius b.
2.The ratio of the fields ga(b) and ga(a) on the surface of spheres with radii a and b:
(2.350)350
3.For a spheroid with semi-axes a and b and a sphere of radius a:
(2.351)351
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Here ga(a) is the field of attraction on the sphere surface with radius a, and gae the field at points of the spheroid equator. After multiplication of Equations (2.349–2.351)349,350,351, we obtain
(2.352)352
The latter shows that the attraction field at the equator (10.2) is smaller than that at the pole. Besides, at points of the equator there is a centrifugal force, which decreases the effect of attraction by the factor q. Therefore, the ratio of gravitational fields or weights at the pole and equator is
(2.353)353
In order to provide equilibrium of the fluid in both channels Newton used the following equality
(2.354)354
Since b=a(1), Equation (2.354)354 gives
Whence
(2.355)355
Assuming that q=1/288, Newton was able theoretically to determine a value of the parameter of flattening of the earth (=1/230) which is somewhat smaller than the real one. Making use of this value, Newton calculated the gravitational field and, correspondingly, the length of a pendulum with the same period at different points of the earth’s surface and found a good agreement with experimental data. It convinced him that the earth is a spheroid flattened along poles and it has very small eccentricity. Note that in deriving Equation (2.355)355 Newton made several assumptions; one of them is that the exterior surface of the earth is a level surface. It is interesting to notice that Newton thought the average density of the earth is approximately in five to six times greater than that of water, which is in agreement with modern data.
It may be useful to assume that we know the equation of equilibrium for a fluid and demonstrate how a model of two channels allows us to evaluate the flattening of earth. First, consider the channel B, where we have
(2.356)356
since particles of a very slender channel are not involved in rotation. Here ga is the field of attraction, which is caused by all masses and has only a component directed toward the center. Assuming that a field of attraction inside of the earth and along a polar axis coincides with the field of a spherical mass we have
(2.357)357
where r is the distance from the origin to some point of a channel. Thus, in place of Equation (2.356)356 we can write
Integration of this equation gives
In order to find the unknown constant, suppose that on the earth’s surface the pressure is zero.
Then, we have
(2.358)358
Thus, the pressure has a maximum at the center and the decreases as a parabolic function and it is equal to zero at the pole. Next, consider the distribution of pressure in the channel A, where both the attraction and centrifugal forces act on any particle. Inasmuch as a difference of a pressure at terminal points of both channels is the same and a>b , it is natural to assume that the attraction field in the channel A is smaller and suppose that the correction factor is equal to the ratio of axes, b/a. Correspondingly, a condition of equilibrium is
(2.359)359
Translation - Russian section{Развитие теории фигуры Земли (краткий исторический обзор)}
subsection{Исаак Ньютон, 1643-1727}
История предмета обсуждения настоящего раздела начинается со времен Ньютона. В 1672 году французский астроном Дж. Рише путешествовал по Южной Америке и выполнял астрономические измерения около экватора. В частности, он установил, что откалиброванные в Париже маятниковые часы каждые сутки отставали на 2,5~минуты. Для наблюдения с таким же периодом, как и в Париже, потребовалось укоротить маятник на 3~мм. То же самое наблюдали и другие путешественники, но до Ньютона никто не пытался дать объяснений этому явлению. В третьей книге сочинения “Математические начала натуральной философии” он написал, что эти эксперименты указывают на то, что “на экваторе Земля несколько выше”. Он также сделал попытку теоретически определить фигуру Земли, учитывая силу притяжения и центробежнуюindex{центробежная сила}силу. Из симметрии ясно, что в отсутствие вращения есть только сила взаимодействия между частицами и Земля имеет сферическую форму. Однако при наличии вращенияindex{вращение Земли}возникает центробежная сила, действующая перпендикулярно оси вращения, и это должно вызывать расширение Земли в направлении экватора, где она имеет наибольший размер. Этот вывод подтвердился наблюдениями за Юпитером, которые чётко показывают сжатие в направлении к его полюсам. Соответственно, возникает следующий вопрос. Какова форма вращающейся планеты, если все её частицы притягивают друг друга в соответствии с Законом Ньютона? Конечно, в то время точно решить эту задачу было невозможно, и Ньютон сделал несколько допущений. Например, он предположил, что при относительно малойindex{угловая скорость}угловой скорости внешняя поверхность планеты имеет форму сфероида с небольшой степенью сжатия. И. Ньютон нашел полеindex{поле притяжения}притяжения, создаваемое массами сферического слоя, а также эллипсоида с очень малым сжатием, и предложил приближенный метод оценки этого параметра для жидкой Земли.
begin{figure}[tb]
begin{center}
includegraphics{figures/fig2_14.eps}
caption{Модель для определения сжатия}
%label{fig_1.2}
end{center}
end{figure}
Давайте представим два узких канала с жидкостью --- А и Б (рис.~2.14). Они соединены друг с другом в центре Земли. В этой точке давление в обоих каналах должно быть одинаковым, иначе жидкость не будет находиться в состоянииindex{равновесие}равновесия, и мы будем наблюдать движение жидкости из одного канала в другой. При отсутствии вращения каналы будут иметь одинаковую длину, однако из-за вращения возникает центробежнаяindex{центробежная сила}сила, которая снижает вес жидкости в канале А, а в канале Б этот эффект от вращения отсутствует. Соответственно, можно ожидать, что длина канала А больше, чем длина канала Б. В первую очередь Ньютон показал, что в точках на экваторе отношение центробежной силы к силе притяжения q = 1/288 и эта величина остается такой для всех точек канала А внутри Земли, поскольку обе силы прямо пропорциональны расстоянию от центра Земли. Для центробежной силы эта зависимость верна, тогда как для силыindex{притяжение}притяжения она справедлива, только еслиindex{плотность}плотность Земли постоянна. Введение параметра q и оценка его величины были важным достижением Ньютона. По определению, сжатие Земли равно
noindent где $a$ и $b$ — длины каналов. Для определения этих длин необходимо знать разницу между силами тяготения на полюсах и экваторе, однако во времена Ньютона математика не позволяла решить эту задачу. Как было отмечено, Ньютон решил эту задачу приблизительно, допуская, что параметр $alpha$ очень мал. Он численно нашёл три соотношения, а именно:
begin{itemize}
item[1.] Для сфероида с полуосями $a$ и $b$
%(2.349)
begin{equation}
frac{g_{ap}}{g_a(p)} = frac{1}{1-4/5alpha} .
end{equation}
Здесь $g_{ap}$ — сила притяжения сфероида на полюсе, $g_a(b)$ — поле притяжения сферы радиуса $b$.
item[2.] Отношение полей $g_a(b)$ и $g_a(a)$ на поверхности сфер с радиусами $a$ и $b$:
%(2.350)
begin{equation}
frac{g_a(b)}{g_a(a)} = frac{b}{a} = frac{1}{1 alpha} .
end{equation}
item[3.] Для сфероида с полуосями $a$ и $b$ и сферы радиуса $a$:
%(3.351)
begin{equation}
frac{g_a(a)}{g_{ae}} = frac{1}{1-2/5alpha} .
end{equation}
end{itemize}
Здесь $g_a(a)$ — поле притяжения на поверхности сферы радиуса a, $g_{ae}$ — поле в точках на экваторе сфероида. После перемножения уравнений (2.349-2.351) получаем
Последнее показывает, что поле притяжения на экваторе в %fxfatal{Сомнительное место: в оригинале формула в скобках не относится к тексту. Вставил предлог }
$(1-0{,}2alpha)$ меньше, чем на полюсе. Кроме того, в точках экватора действует центробежнаяindex{центробежная сила}сила, которая снижает действие поля притяжения на величину q. Таким образом, отношение поля тяготения или веса на полюсе и экваторе
Portfolio